Zpracování experimentálních dat – NEPŘÍMÉ MĚŘENÍ

Při nepřímé metodě měření je hodnota hledané veličiny určována na základě výsledků zpravidla přímých měření veličin jiných. Tyto veličiny jsou s vlastní měřenou veličinou vázány známými závislostmi (platným vzorcem). Mezi nepřímé metody se počítá také takové metody, kterými se přímo měří veličina jiného druhu než ta, kterou chceme určit, ale ke konečnému vyhodnocení nestačí převodní tabulky nebo grafy, ale musíme použít výpočet.

Aby to celé nepůsobilo příliš obecně, raději i zde začneme ilustračním příkladem, který nám to snad osvětlí.

Rozhodneme se určit hustotu kovového válečku. Pro přímé určení hustoty pevného tělesa ještě nikdo žádný hustoměr nevymyslel. Znamená to, že musíme nejdříve naměřit některé potřebné veličiny, jako je výška, průměr a hmotnost, a z nich teprve požadovanou hustotu vypočítat. To je princip tzv. nepřímého měření.

Ilustrační příklad:

Při měření hustoty kovového válečku byly změřeny následující údaje: poloměr podstavy r = 2,0 cm s přesností ±2 mm, výška válce h = 5,0 cm s přesností ±3 mm a hmotnost m = 1 200 g s přesností ±10 g. Určete hustotu válečku včetně její přesnosti určení.

Řešení:

Nejdříve si „pořádně“ zapíšeme naměřené údaje:

r = (2,0 ± 0,2) cm
h = (5,0 ± 0,3) cm
m = (1 200 ± 10) g

Dalším krokem je určení hledané veličiny (hustoty) pomocí platného vzorce, dosazovat budeme střední hodnoty naměřených veličin (odchylky zatím budeme ignorovat).

Vyjdeme ze základního vzorce:

ρ = \frac{m}{V}

(1)

kde za objem V ve jmenovateli vzorce (1) dosadíme vzorec (2) pro objem válce:

V = π r ² h

(2)

Tím dostaneme celkový vzorec (3):

ρ = \frac{m}{π r^{2} h}

(3)

Dosadíme do vzorce (3) a určíme výslednou hodnotu hustoty:

ρ = \frac{m}{π r^{2} h} = \frac{1 200}{π 2^{2} 5} ≐ 19,098 61 g· {cm}^{–3}

Jak se však projeví nepřesnosti určení jednotlivých veličin?

Určitě zde nemůžeme postupovat, jako jsme postupovali při přímém měření, protože zde máme jen jedno měření, takže aritmetický průměr ani průměrná odchylka není z čeho počítat. 😕

Musíme postupovat následujícím způsobem:

1. Nejdříve převedeme všechny odchylky naměřených veličin na tzv. relativní odchylky.

Relativní odchylka určuje podíl absolutní odchylky ku celkové naměřené hodnoty. Například pro naměřený poloměr určíme relativní chybu následujícím způsobem:

δ_{r} = \frac{Δr}{r} = \frac{0,2}{2} = 0,1

POZNÁMKA:

Všimněme si, že relativní odchylka se značí pomocí malého řeckého písmene δ [delta] a veličina, jejíž odchylku počítáme, se píše jako dolní index. Tedy δ_r je relativní odchylka poloměru.
Zadruhé si všimněte, že relativní odchylka je bezrozměrná veličina. Zatímco absolutní odchylka poloměru Δr = 0,2 cm, tak relativní odchylka poloměru je δ_r = 0,1.
Někdy se místo relativní odchylky uvádí tzv. procentuální odchylka (též procentuální chyba). Procentuální odchylka se značí také malým řeckým písmenem delta δ, ale veličina je za ním uvedena jako normální písmeno (žádný doplní index). Procentuální odchylka je vlastně jen vyjádřením relativní odchylky v procentech a také se v procentech udává.

Například: δr = δ_r ·100 % = 0,1 · 100 % = 10 %. To má tu výhodu, že si můžeme lépe udělat představu o přesnosti daného měření – lidé přece milují procenta! 😉

Obdobně určíme další relativní a procentuální odchylky a všechny si je zde společně uvedeme:

δ_{r} = \frac{Δr}{r} = \frac{0,2}{2} = 0,1 δr = 10 %

δ_{h} = \frac{Δh}{h} = \frac{0,3}{5} = 0,06 δh = 6 %

δ_{m} = \frac{Δm}{m} = \frac{10}{1 200} = 0,008 δm = 0,8 %

Z přehledu odchylek vidíme, že i když absolutní odchylka hmotnosti je sice největší (±10 g), takže by se mohlo zdát, že hmotnost je změřena nejméně přesně, je tomu přesně naopak. Protože procentuální odchylka hmotnosti (nepřesnost měření) není ani jedno procento, zatímco obě ostatní veličiny jsou určeny s přesností několika procent. Takže hmotnost je asi desetkrát určena přesněji než rozměry délkové.

2. Z relativních odchylek naměřených veličin určíme celkovou relativní odchylku vypočítané veličiny, tedy hustoty.

K tomu využijeme následující obecná pravidla pro počítání s relativními odchylkami. V tabulce předpokládáme, že hledáme relativní odchylku veličiny A, kterou počítáme pomocí naměřených veličin B a C.

Vzorec pro výpočet veličiny A	Vzorec pro určení odchylky veličiny A
$A = B \cdot C$	$δ_{A} = \sqrt{δ_{B}^{2} + δ_{C}^{2}} ≐ δ_{B} + δ_{C}$
$A = \frac{B}{C}$	$δ_{A} = \sqrt{δ_{B}^{2} + δ_{C}^{2}} ≐ δ_{B} + δ_{C}$
$A = B^{n}$	$δ_{A} = n \cdot δ_{B}$
$A = \sqrt[n]{B}$	$δ_{A} = \frac{1}{n} \cdot δ_{B}$
$A = k \cdot B kde k ∈ R$	$ΔA = k \cdot ΔB$ $δA = δB$
$A = B \pm C$	$ΔA = \sqrt{{(ΔB)}^{2} + {(ΔC)}^{2}}$

POZNÁMKA:: Všimněme si, že v případě prvního a druhého řádku se v obou případech odchylka sčítá. To není chyba tisku! Pokud existuje nejistota naměřených veličin, vždy se projevuje zvětšením nejistoty výsledku a je jedno, zda se násobí nebo dělí.

Určíme tedy relativní odchylku hledané hustoty. Nejdříve se podíváme na vzorec (3), ze kterého jsme určili hustotu.

ρ = \frac{m}{V} = \frac{m}{π r^{2} h}

Pak dle pravidel z výše uvedené tabulky odvodíme vzorec pro určení relativní odchylky hustoty. Vidíme, že hustota je dána podílem hmotnosti a objemu. Podle pravidla podílu je relativní odchylka hustoty dána součtem relativních odchylek hmotnosti a objemu.

δ_ρ = δ_m + δ_V

Relativní odchylku objemu obdobným způsobem odvodíme z poloměru a výšky. Opět si pomůžeme vzorcem pro výpočet veličiny – zde (2):

V = π r ² h

⇒ δ_V = 2 δ_r + δ_h

Dvojka před relativní odchylkou poloměru je dána druhou mocninou poloměru v základním vzorci (viz třetí řádek tabulky pravidel).

Celkový výraz pro relativní odchylku hustoty tedy bude:

δ_ρ = δ_m + 2 δ_r + δ_h

Dosadíme a určíme relativní odchylku hustoty:

δ_ρ = 0,008 3 + 2 · 0,1 + 0,06 = 0,268 3

3. Z relativní odchylky hledané veličiny (hustoty) určíme odchylku absolutní, tedy z výrazu ρ = ^Δρ/_ρ vyjádříme Δρ:

Δρ = δ_ρ · ρ = 0,268 3 · 19,098 61

Δρ = 5,124 16 g·cm^–3

Všimněme si, že tato odchylka je již odchylka absolutní, má tedy jednotku.

4. Výsledek správně zaokrouhlíme a prezentujeme.

Tedy zaokrouhlíme absolutní odchylku na první platnou cifru a dle toho zaokrouhlíme výsledek.

Δρ = 5,124 16 g·cm^–3 ≐ 5 g·cm^–3

ρ ≐ 19 g·cm^–3

ρ = (19 ± 5) g·cm^–3

Příklady pro domácí přípravu:

Příklad 1:: Určete obsah obdélníku: a = (46,4 ± 0,2) mm, b = (72,1 ± 0,3) mm

Výsledek: S = (3 350 ± 30) mm²; δ_S = δ_a + δ_b = 0,004 3 + 0,004 2 = 0,008 5

Příklad 2:: Při měření hustoty válce bylo naměřeno:

hmotnost m = (22,01 ± 0,02) g,
poloměr podstavy r = 8,35 mm s procentuální chybou 1 %,
výška h = 1,3 cm s procentuální chybou 5 %.

Vypočítejte hustotu v kg·m^–3 a určete absolutní a relativní chybu výsledku.

Výsledek: ρ = (7 700 ± 500) kg·m^–3; δ_ρ = δ_m + 2 δ_r + δ_h = 0,000 91 + 2·0,01 + 0,05 = 0,070 91

Chcete více potrénovat zpracování experimentálních dat nepřímého měření?

Vyzkoušejte procvičovací trenažér pro Nácvik zpracování exp. dat NEPŘÍMÉHO MĚŘENÍ